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TRAITÉ

DE

GÉOMÉTRIE.

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Les AQteurs et les Éditeurs de cet Ouvrage se [■éscrvcnt le droit de le tra- duire ou de le faire traduite en toutes langues. Ils poursuivront, eu vertu des Lois, Décrets el Traités internationaux, toute contrefaçon, soit du texte, soit des gravures, au toute traduction faite au mépris de leurs droits.

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Toulencniplairc du présent Ouvrage qui ne porterait pas, comii sous, la griffe des Libraires- Éditeurs, sera réputé contrefait. Le; nécessaires seront prises pour atteindre, conformément fi (a loi,

, Google

TRAITÉ

GÉOMÉTRIE,

Eugène ROUCHÉ,

Ch. de COMBEROUSSE,

CONFORME hn 1R,,GnA1i1IES OFFICIELS, ItE^FEOniKT IK TRES GltlXO COUDRE D E\ERCIlbS ET PLL'SIEIRS AI'PËADICES CO.VSACRÉS

A L'EXPOsmu^ des rmuiPAibs nnutoEs de la ctovÉïniE hoderke.

SIXIÈME ÉDITIOK, REVUE ET AUGMENTÉE.

DEUXIEME PARTIE. GËOHËTRIE DANS L'ESPACE-

PARIS, GADTHIER-VILLARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRâfflES

DU BUBEAU DES LONGITUDES, DE.l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, Quai dos GEaiids-Aiisiistiiis, 55.

, Google

b, Google

AVERTISSEMENT

DE LA DEUXIÈME PARTIE.

(6' ÉDITION.)

Nous avons déjà indiqué dans notre Préface les amé- liorations apportées à h première Partie de ce Traité; il nous reste à mentionner rapidement celles qui re- gardent la seconde Partie.

La relation entre l'Homologie et la Perspective a été mieux mise en évidence. Nous avons présenté sous une nouvelle forme la démonstration du théorème d'Euler relatif aux polyèdres, en ajoutant quelques complé- ments utiles à la théorie des polyèdres étoiles. Nous avons étendu au problème de la sphère tangente à quatre sphères données la solution plus complète et plus précise que nous avons développée dans la pre- mière Partie pourlaconstructionducercle tangent à trois cercles donnés. Signalons encore une formule simple et pratique pour le jaugeage des tonneaux.

L'Appendice si important du huitième Livre a été revu avec le plus grand soin et a reçu plusieurs addi- tions, parmi lesquelles nous citerons le théorème

>y Google

i[ iVKRnssiisiENT.

lie Joacliimstlial sur les normales ami. coniques, l'exten- sion remarquable donnée par M. Aubert au théorème i.ie Pascal, et divers tracés intéressanls concernant la parabole et l'hyperbole équilatère,

Knfin, aux deux Notes essentielles qui terminaient l'Edition précédente, nous en avons ajouté une troi- sième consacrée à la Géométrie récente du tétraèdre. Celte Note est le complément naturel de celle qui, dans la première l'artie, traite de la Géométrie récente du triangle. Nous la devons également à l'obligeance de M. J. Neuberg, qui a trouvé une grande partie des théo- rèmes qui y sont exposés, et que nous sommes heureux de remercier de nouveau.

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TABLE ANALYTIQUE DES MATIÈRES.

GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE.

§ I. Premières notions sur le plan.

Positions relatives d'une drojle et d'un plan

Intersection et positions relatives de deui plans

Conditions nécessaires et suffisantes pour déterminer un plan

l'ositions relatives de Jeux droites dans l'espaee

Conditions du parallélismo de deux droites dans l'espace : conséquences.

§ II. Droites et plans parallèlsE.

Positions relatives du système de deux di-oiles parallèles et d'un pian;

droites parallèles h une Iroisième

Posîltons relatives du système de deux plajis parallèles et d'une droite

légalité des Biigles ï crttés parallèles et de même sens. Définition de l'angle de deux droites; droites perpendiculaires

itgalité des parallèles oomprisoa entre droite et plan parallèles, entre plans parallèles

Système de deux droites coupées par trois plans parallôlas

S III. Droite et plan perpendiculaires,

Conséquences immëdiates de la déûnîtion adoptée

Conditions pour qu'une droite soit perpendleulaire à un plan

Existence de la perpendiculaire au plan

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Pin-alliilismc de diMiï rjroiles ou d'une droho et d'un pinn [lerpciidicu-

luires h un mtme plun ou à une nièina droite i.=

Propriétés do lu perpendiculaire et des obliques i-

Dislance d'un point à un plan, d'une droite cl d'un plan parallèles, de deuï plans paialltles il^

§ IV- -- Projection d'une droite sur un plan. Angle d'une droite et d'un plan. Plus courte distance de deux droites.

Projection d'une droite sur un plan. Projection de deux droites paral- lèles le

Projections de deux droites rectaugnlaires sur un plan parallèle à l'une d'elloe; (licorcme des trois perpendiculaires. Orthogonalité de la trace d'uu plan et de la projection d'une perpendiculaire à ce plan . . <;

Angle d'une droile et d'uu plan 31

Perpendiculaire commune il deux droites non siluéi^s dans le même plan ;

§ V. Angles dièdres.

Angle dièdre droit, Angle plan correspondant à un angle dièdre. ... -i'^

Mesure d'un angle dièdre 2<i

Ligne de plus grande pente d'un plan aH

§ VI. Plans perpendiculaires.

Plan mené par une droile donnée perpendiculairement à nn plan donné. 3(i

Intersection de deux plans perpendiculaires à un troisième ^i>

S VII. Angles polyèdres.

Convexité d'un angle polyèdre 'ii

Angles polyèdres symétriques .îS

Propriétés générales des angles polyèdres convexes 35

Conditions pour qu'on puisse former un trièdi'e avec trois Tnces données. Z-

Trîèdres suppiémenlaîres ; origine du principe de dnalilé 3y

Conditions pour qu'on pnisse former un trièdre avec trois dièdres donnés. i?

Cas d'Écalilé des trièdres; quatre cas ','^

APPENDICE DU CINQUIÈME LIVRE.

Quadrilatère gaueiie coupé par un plan quelconque et, en particulier,

par un plan parallèle à Jeux cûlés opposés 4''

Rapport anharmonique de quatre plans (ÎJ^

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FroppiéLés fon lia m en la les de la projection cenlrale ou perspective. Point de fitile d'une droite. Condition pour que des droites aient leurs perspectives parallèles. Ligne de fuite d'un plan; coneeption de la droite de l'iiifiiti d'un plan 49

LKS POLYÈUIIES.

g I. Propriétés générales et aire latérale du prisme,

ropriélés velalivesaus faces opposées et auï diagonales dnparallélipipèila.

S 11- Tolume du prisme.

Théorèmes préliminaires relatil's à la transformation du prisme oblique en pris LUC droit équivalent, et a lu décompaBÎtion du parallélipipèitc

Volume du parai Ici ipipèdo rectangle

Volume du paraît élipipède droit et du parai léli pi j>ède quelconr^ne

Volume du prisme quelconque, conséquences

S III- Propriétés gânéralee et aire latérale de la pyramide.

§ IV. Volume de la pyramide.

Équivalence de deux pyramides triangulaires de bases équivalentes et de

Volume de la pyramide : conséquences. Cas du tétraèdre réguliiT. ~ Méthode pour évaluer le volume d'un polyèdre quelconque ^6

Volume du tronc de |>yramidc à bases parallèles. Formules relatives soit au tronc de première espèce, soit au tronc de seconde espèce 79

Volume du tronc de prisme triangulaire. Apiilicalion au tronc de parallélipipèdo

Volume du polyèdre ayant pour bases deux polygones quelconques situés dans des plans parallèles et limité latérolement par des trianglea ou des trapcics. - Applicotiuii ou tas de pïerrus, cuvetles, tombereaux, etc.. 8M

, Google

@ V. Figures symétriques.

Symttrit! par rapport à un centre, à un me, à un plan

Influence de position du centre ou du pinn de symétrie. Manière de ramener l'une ii l'autre la symétrie par rapport à un centre et Is symé- trie par rapporl à un plan

Propriétés relatives à deux droites symétri<(iics, à deux plans symétriques.

Propriétés des polyèdres symétriques

S VI. Polyèdres semblables.

Caa de similitude de deui pyramides triaiiQuloires

Décomposition de deux polyèdres semblables en tétraèdres aemliiables.

Droites liomolt^ues

Rapport (les aires et des volumes de deux polyèdres Bemblablea

APPENDICE DU SIXIÈME LIVRE.

Propriétés généralea des polyèdres ronvexes. Théorème d'EuJcr

(S -i-F A -'- î) et ses conséquences

Conditions d'égalité et de similitude de deux polyèdres convexes; nombre

des conditions iiëcessalres pour déterminer un polyèdre convexe. ....

Projection d'une aire plane

Centra des distances proporlionneHes

Centre de ip^vité; triangle, trapèze, polygone; tétraèdre, polyèdre

Aire latérale et volnme d'iin tronc de prisme quelconqne

Méthode de démonstration des propriétés projeetives

Règle pour reconnnltre la projectivitê de corlaineB relations métriques;

expression trigo nom étriqué du rapport anbarmonique d'un faisceau. . Figures liomologiques; leur origine; leur construction; droites limites, . Propriétés métriques des ligures bomologiqnes. CoeCGcient d'home-

logie, nouvelle définition

Homologie des projections de deui ligures planes en perspective, réci-

S I. - Cylindre de révolution.

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TADLË DES MATIKBKS. iiidre de révolution. Dévelor

S II.

' Cane de rêTolutlon.

Pyramide in

Notions préliminaires. Plan t;

sorite. Cftnes semblablaa

Aire lalérale du cAno de révolution. DéTeloppement

Aire latérale du tronc de crtne à baaes parallèles.. ,

Volume du cAne de révoliillon

Volume du tronc de cAne à bases parallèles. Formules soit pa

Ironc de première espèce, soit pour le tronc de seconde espèie. Apiilkation au cubage des troncs d'arbres, au jaugeaje des toni

Itormnie pratique)

g III. -

Premières notions f

r la sphère

I sphérique, .

Notions préliminaires. Tangente à i

Sections planes de la sphère. Gr»nd9 cercles; petits cercles. .

Propriétés des pOles d'un cercle de la sphère

Recherche du rajon d'une sphère solide

Plan tangent à la s))hère, Cflne ou cylindre c

Interseolion de deux sphères

Quatre points déterminent une sphère

§ IV. - Propriétés des triangles sphériquas.

Angle de deux arcs de grand cercle

Pramières propriétés des triangles et des polygones spbériques, .

Figures sphériques polaires ou supplémentaires; dualité

Cas d'égalité des triangles sphériques

Définition de la longueur d'un arc de courbe gauche. Plus court

e deui

, sphèr.

Arcs de gi'anil cercle perpendiculaires et obliques k un cercle do conséquences relatives au triangle sphérique rectangle

Positions relatives de deux cercles d'une même sphère

Lieu du sommet d'un triangle sphériqne dont on donne la base et i' de la somme des angles à la base sur l'angle au sommet

Divers tracés sur la sphère. Construction des triangles sphérique Grand cercle tangent à un petit cercle, à deu\ petits cercles

- Aire de la sp L d'une droite a

.m pl.n

Aire de la loue; aire de la sphère., fiquivaleiioe de deui triangles sphér;

, Google

s VI. Volume de la sphère. Volume engendré par un trianijle to^inmnt autour d'un nte si lue dans

son plan at passant par l'un des sommets ; conséquences :

Volume du aeclBur spLorique, do la spliàre :

Volume engendré pm> un segment circulaire

Volume du secment sphéricjue; cas Jii se(;menl à une base, doulile

eipresaion

Volume de la pyramide s|)liêriqiie

S VIL Généralités sur les surfaces.

Surlaces coniques, cylindriques, de révohitiou

Sections d'une surface cylindriquo ou conique par des plans parallèles. .

Aire lulérale d'un cylindre quelconque. Volume d'un cylludre ou d'uu cflne quelconque

Plan tangent nu cône ou au cylindre; tangente à la projection d'une courbe ; cas d'exception

Section aoliparaUèle du cane oblique ; lieu des centres des sections anti- parallèles à laliasc; cdnos passant par deux cercles d'une spliére

Eiisteuce du plan tangent à nue surlace quelconque ; normale Cas des

surliices léylées, développables ou gauches

Propiii^lGli.ndanicntalsdu plan tangent aux surfaces de réiolution

['ropiLiilê IdiiUameutiile du plan tangent ans surfaces gauches; raecopde-

APPiîNDICI': DU SF.PTIÈITK LIVKE, Théorème de Guldin sur l'aire ou le volume engendré pur la rotation

Théorèmes sur le maximum des figures. La sphère a le plus grand ïolnme parmi les corps de même surface

Polyèdres réguliers eouvcxos; il n'en existe que cinq ; leur construction ; sphères inscrite et circonscrite

Calcul du dièdre d'un polyèdi-e régulier. Calcul des rayons des sphères

Polygones cl polyèdres réguliers d'espèce supérieure. Il n'existe que quatre polyèdres réguliei's d'espèce supérieure

Trouver l'espcco d'un polyèdre régulier; généralisation de la Torniulo d'Euier. Application auï polyèdre» réguliers d'espèce supérieure.

Figures homothéliquea dans l'espace. Centres et aies de quatre lîgur liomotliétiques deux à deux, et, en particulier, de quatie sphères. . .

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T.VBLE DES lliTIERES, X[[I

Similitude dans l'espace -aGi

Figures homologiquea dans l'espaco. Plnn do l'iuUiii. Principe de

la construction des bas-raiiefa aGa

Pûla et plan polaire par rapport à la splièro. Droites réciprof[ues. . . . 264 Plan radical de deux sphcrca ; axe radical de trois sphères ; centre radical

de quatre sphères ; propriétés des points anti-homolojfuo 266

Complémoiit do la théorie des figures îiiYorseB et de la mctliode de trons- fortiiation par rayons lecteurs réciproques; Rgure inverse d'un phn,

d'une sphère ou d'une circonférence; conservation des angles 268

Projection stéréo graphique 270

Sphère tangente k quatre sphères données, Ihéorènie do Dupuis 37 [

Sphère tangente à quatre plans donnés, nombre des solutions, calcul des

rijoas 27.5

Figures tracées sur la sphère : rapport anharmoniquej rapport harmo- nique ; pûle et polaire par rapport à un cercle de la sphère; axe radi'

cal ; centres de similitude; cercles isojjonaux 279

Problèmes relatil's au contact des ecreies sur la sphère. Cercle coupant trois cercles donnés sous des angles donnes, et problème analogue de Géométrie plane. Sphère coupant ijuntre sphères données sons des angles donné. aSj

LIVRE VllI.

LliS COURBES USTELLES.

g I. Propriétés fondamentales de l'ellipse.

Définition et tracé de lu courbe ; foyers, centre et ânes îSt)

Point intérieur ou extérieur agS

Propriété fondamentale de la tangente, normale 294

Cercles directeurs, cercle principal 297

Tangente par un point donné. Lieu des sommets des angles droits cir- conscrits il la courbe. Propriétés des tangentes issues d'un point

eitérieur 299

Tangente parallMe k une direction donnée; produit des distances di:s

fojers il une tangente /ioi

g II. - Propriétés foodamentales de l'hyperbole.

Définition et tracé de la courbe ; foyers, centre et axes 3o5

Point intérieur ou eslei leur 3o8

Propriété fondoraenljle do la tangente. Réciproque pour l'eliipse et

l'iiyporbok Sorniile Sog

, Google

MITCERES-

Asymptotes. Hyperbole equilateip Hyperboles conjuguées 3i3

Tangente par un point doi n ^ L eu ilea soiumËts ijâs ongles droits circonscrils a \\ courbe Propriétés des tangenles issues J'un point

eslérioiir. Applicat on au quadnlatéie circonserïptiblo îiG

Tangente parulLle a une direction donnée; conséquences 3iS

Points de rencontre d'une droite avec l'hyperbole non tracée; discussion, oic)

§ III. Propriétés fondamentales de la parabole.

Définition et tracé do la couilie ; foyer, directrice, paramètre, axe 'iai

Point intérieuv ou estéricur 323

Propriété fondamentale de la tangente. Réciproque 3a(l

Propriété de la tangente relu tire il la directrice 3^6

Normale. Tangente au Bommot. Le foyer est le centre du cercle eir-

eonscrîl au triangle formé aveo l'aie par la tangente et !a normale. .. 327 La directrice est ie lieu des points symétriques du foyer par rapport aux tniigentes, et la tangente an sommet est le lieu des projections du foyer

sur ces mêmes tangentes 3a8

Kipressioiis de la sous-tangente, de la sous-normale et de l'ordonnée. . . 33i Tangente par un point donné. Lien des sommets des angles droits circonscrits à la courbe. Propriétés des langciites issues d'un point

extérieur 3Î2

Tangente parallèle à une direction donnée 33{

l'oints de rencontre d'une droite avec la parabole non tracée 33^

§ IV. Ellipse considérée comme projection orthogonale du cercle.

La projection orthogonale d'une circonférence de cercle 6nr un plan est une ellipse : conséquence relative à l'ordonni'0 33.)

Affinité de l'ellipse et du cercle principal. Application au tracé des tangenles et à l'intersection d'une ellipse et d'une droite 337

Diamètres de l'ellipse, diamètres conji^oés, tangente à l'exirémilé d'un diamètre 34"

Aire do l'ellipse ï^'

Ellipse décrite par un point quelconque d'une droite de longueur con- stante dont les eitrémités glissent sur deux droites recta ngulaii-es. Construction de la normale en un point de celte ellipse ; conséquence. 3^1

Étant donnés deus diamâlres conjugués de l'ellipse en grandeur et en direction, construire les axes do la courbe 343

Théori'>me do Schoolen et de la Hire îli

§ V. Parabole considérée comme limite de l'ellipse.

I.a limite d'une ellipse dont un sommet et le tovcr voi.sin re-teiit fiscs, tandis que l'antre foyer b'cn éloigne indéfiniment dans la iliiection du

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E^rand aie, est une [larabolc ! conséquences 3.^5

Parabole rapportée à un iliamètre et à In tanjjente correspondante; con- servation dfl la propriété de lu soua-tan|;ente 3^7

Aire d'un segment parabeliqHO 'i^H

g VI. Origine commune des trois courbes. Sections planes du cdne de révolution.

Directrices dans l'dlipie et dans l'iiypeibole : propriétés Coiidamt'n taies. IS^ij Lieu des points dont les ilislatices à un point flie et il nre droite liie

«ont dans un rapport constant; eonscqucnce!^ 35 1

Sections pianos d'un cflne eireulaire droit, eiamen des différents cas 353

DéQnition commune au\ trois sections coniques 33'^

Pincer une ellipse, une hyperbole ou une pa[a}>ole donnée sur un cdne

de révolution donné.. 357

Projection de la section plane d'une surface gauche de révolution sur un

plan perpendiculaire à l'ase de la suiïacc ; cas du cAne S5i|

Construction d'une conique d'après certaines données Sft'

§ TH. Propriétés fondamentales de l'hélice.

Ordonnée cl abscisse curïMigne d'un point d'une surface cylindrique. . . 3Gj

Définition de l'hélice. Spires. l'as 363

Transformée de l'hélice dans le développement iln cylindre 363

Tansenle et sous-taiigenle. Conséquences W,

APPENDICE DU HUITIEME LIVBE.

[lo.MOGR.vpiiiE ET l^von;TIO^■.

Divisions homographiques. Formos principales de la relation lionio- graphique 36^

Cas particuliers : divisions semLlabies, divisious ho mo logiques. ~ Con- dition pour que deux divisions homographiques soient homologiques. 3;d

Divisions homographiqiiea de même base; points doubles 871

Détermination dmultanéo de deuï points sur nne même droite : poiuls imaginaires 3-s

Faisceaux homoBrapliiquea. Rayons doubles. Faisceauï résultant de la rotation d'un angle de grandeur constante autour do son

'«""n** ■Î74

Intersection d'une droite cl d'un cercle l'oints cycliques d'un plan. 3-1)

Divisions et faisceaux homogrnphiques en invulution, Formes de la

relalion involutiïe. Projectivilé de l'involution. Points doubles. 878

Relations métriques entre trois segments en involulion 38o

Faisceaux en invoiulion ; rayons doubles; couple de rayons homologues

, Google

XVI TABLE DES MATIERES.

Propiioféî i.iïoluliïos du (|ua<lL'ilaUiro. TIiooi-l-hic du Di-surRues sur

ConslrufLiona rolalives ù l'homographie ot à l'involiilioii 386

L-OURBliS DL" SECOTin ORimK.

GénéralioD et classilicalioii Jee coniques 33()

Ordre d'une courbe aiQébrîc|uc, IJcntilc âes coiiiiiiic^ et îles couiIji'S

du second ordre 3i),'(

Extension aui coniques du théorâruc da Pascal,— Tliêuième de Desargues,

généralisé par Sturm 89^

PÛte st polaire dans les coniques 3gj

Quadrilatères inscrits et circonserils. Tiieorùme de ri'égier. Inscpirt- un polyi;oua dont les cdtés passent par des points donnés, ut problème corrélatif 3i|7

Poinis eldroilcs coujuirué^. Intersection d'une conique et d'une droite; taugLUtes a une coniqnc par un point de son plan 3gr)

Diamètres, centre jSMnptotes Diamètres coiijuBués et cordes sup-

Équation de 1 ellipse jajportca j deui diamelret conjugués. Angle auxiliaire, IhuoTèmes dlpolloniiis, maximum de l'angle de dcn.v diamètres conjuguas diamètres conjugués égaus 4*>4

Équation de 1 hyperbole rapportée ii ses a>) uiptutLS ou à deux diamètres conjugues Proprieti-s reHtivi,s tuT dnineties «onjuijués et aux asymptotes profrietes des sécantes et de la tangente; théarèmes d Apollonius, h>perbole equiiatire 4 07

ProptiDles des dnraetres conjugués et des tangentes dans l'ellipse ot dans Ihjpi-rbulp (1 m

Problèmes usuels relalilo 1 1 elliise et à l'hyperbolf ,'|I3

Diamètres et tangentes dans la parabole. Equation de cotte courbo rapportée à iin diamètre cl à la tangr-nte à son cxtiémilé. Propriété de la sous-tangente ji5

Recherche des loyers et des directrices dans les coniques; coiiaéquencos pour la tangente et la nurniale; retour aux délinitioiia clémcnlaires des trois courbes ii'^

Coniques eonlocales 'l^'^

Généralisa lion de l'idée de foyer. Cercles do rayon nul bilangenls à la q _ p ( communs bus tangentes menées à la courbo par la p t ylq es du plan 4'*3

Tabl d r mul elatlTes ans coniques 4«5

CompI t d 1 m thode des polaires réciproques. Tliéorème de Papp 1 q d lalère inscrit '(^7

Glas l 1 Igébvique. Identité des coniques et des courbes

de d I Niiinbri! des foyers d'une courbe d'après sa

, Google

TVBI.E DES MATIERES- XVII

Propriélés des points des Jroites imaginaires 4^2

Coi'des et tangentes communes il deux coniques 434

Triangle nulopolaire commun à deui coniques; discussion (jSG

Faisceau de coniques drconserllâs ou inscrites h un quadrilatère. Tliéo- râmes de Ijimé et de Newton. Cercle esculatcvr el rii^ron de cour- bure d'une ellipse ,^33

Coniques tongentcs, biiatigentes, osciilalrices /\^o

Coniques homologiqties. Méthode gincrale pour les tracés grapliiques

relatifs OUÏ coniques ii l'aide d'un levclo ausiliaire ^jt

Coniques lio me ihc tiques 44^

Métbade de recliercho fondée sur la projection conique. TbéorèmeE de < arnotet de Newton. Principes relatifs à la projection d'une conique

ou de deux coniques d'après certaines conditions 44@

Solution générale de la transforma lion des relations angulaires /ijo

Construclion d'une conique connaissant cinq éléments (points au tan- gentes). — Généralisa lion du ihëorèrae de Pascal 45i

Détermination d'une conique d'après d'autres conditions. Caracléris-

liqnes d'un groupe de coniques 456

Construction des points communs el des tangentes communes n deux

Normales h une conique par un point de son plan. Ttiéoréma de

Joachimslhal 45g

Problèmes usuels relatifs ii la paraLiole et à ll.yperliole équilatèrc ^Gi

TlTlioRIE DES SUBFACES DU SECO.ND ORDHK.

DéliniLion. Pûlc et plan polaire :\6j

Points el droites conjugués; Irièdre polaire 468

Plans diamétraui ; diamètres; centre. Sections par des plans pariillèles. 46g

Plan» principani et sections circulaires 470

C<Jne3 du second ordre. Axes et plans cjcliques 4j3

Cônes supplémentaÏFes ; dualité ij^j

Focaleset plans directeurs. Propriétés des focales et des plans cycliques;

leur corrélation 4^6

Coniques sphériques. 47^

Quelques cas particuliers remarquables de l'int^rscelion de deui surfaces

Prcpriélés générales des surfaces réglées du second ordre. Distinction entre l'hyperboloide k une nappe et le psraboioïde hyperbolique 4^0

Hjperbololde à une nappe. Cûne asymptote. Sections planes; plans cjcliques. Équation de la surface. Projection de la surface sur un plan diamétral parallèlement au diamètre eonju([ué de ce plan ^S3

Paraboloïde hyperbolique. Plans directeurs. Sections planes. Équation de la surface. Divers modes de génération 4^^

Classillcation des surfaces non réglées du second ordre 4^9

Ellipsoïde. SecltouB planes. - Sections circulaires; ombilics. - Équa-

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XViri TABLE DES MATIERES.

liun di: la Biirfucr.'. Diamètres conjugués; exlcnsion des Ihi'orèmes i)'Apol[uniu3 4go

Parabuliiide ellipliquo. Dïaintlresj axe, Sellions planes. Équa- tiou de la surL'ace 49^

Hv|)erboloïdn à deiiï najipes. Stctioiis planes. Équation de la sur- We l9^

ÉTIIDK 1>E QUELQUES SURFACES d'OHDIIE SUPÉlllELli.

Siirruces polaiios i-écip roques. Classe d'une surface 49^

Surfaces apsidales. Plan taiiBcnt. Apsidalo de la polaiie réciproque, ^gfi Surface des onde^ ou surface apsidale d'un ellipsoïde par rapport a son ccDlre. Diverses manières de la faire dériver do l'ollipsolde. Sec- tions principales. Plan tangiint; théorème de Nivcn. Singularités :

poiuls coDiquos, plans touchant suivant un cercle 499

Tore ou surface apaidala d'une splière. Section par un plan Litaiigeul, par une sphère bîtanuenln, UroitoB bilanjeiiles menées par un point

QUESTIONS PROPOSÉES SUR LA GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE.

Lu ciut|uiéme Livre (531 à 592) Su;

Bu siïième Livre (593 à 710) jn

Du septième Livre ("lia 843 ) 52;

Du huitième Livie (811 « 10^1; 54'

NOTES.

NOTE 1. Sur l'application des déterminants à la Géométrie.

Aire du triangle. Volume du tétraèdre et rayon de !a sphère circon' 6"ite 56,,

Relations entre les distances mutuelles de quatre points d'un eerele, de cinq points d'une sphère, de cinq points quelconques de l'espace S^i

Rayons des sphères coupant quatre sphèrea données sous dos angles donnés, ou des sphères toucbanl quatre sphères données; formules pour les problèmes correspondants de Géométrie plane 67}

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TABLE DES U.ATIÈBES. XIX

NOTE II.

Sur la Géométrie non euclidienne.

Conception fonda m en laie île LobaUsdiuffoky reladvempiil nus pnralli-lcs. 577

Somme di-s angles d'un triangle reclilïgne 5Su

DélinilioD et propriélés des fonctions circulnircs et des fonctions hyper- boliques. — Espression de l'angle de parallélisme 583

Trigonométrie piano euclidienne. TrigoDométrio plane non eucîi-

dienne 58S

Cas des trianglea infinitésimaus ôgo

Trigonométrie sphérique Sg i

Conclusion Sgf

NOTE HT. Sur la Géométrie récente du tétraèdre.

Définition ileii cuoj'données 5g5

Points et plans harmoniquement aasBciés 5gli

Seoliona antiparailèles d'un lélraèdie. ^ Rayon de la aplière circon- scrite j.]8

Points inverses 6no

Tétraèdres et pentagones orthologiques (ioi

Point inverse du centre de gravité d'un tétraèdre tioj

Quadruples hyperboli/îdiques GoS

Sphères tangentes aus quatre faces d'un tétraèdre fioj

Sur les hauteurs d'un tétraèdre. Tétraèdre orthocentrïque, ses pro- priétés. ^ Qnadrarèle et quadrangle orthiques, cône équilaiêrr lin

Les hauteurs d'un tétraèdre quelconque sont des génératrices d'un fiyper-

bûlolde équilatère Cuti

ERR4T.V.

Page io3, Re,

mplacer la dernière phrase

de ravaut-derniur alinéa pai-

« On détermi

nern de la même manière uj

[te droite passant par A,, et la

symétrique de c ainsi à l'intersec

elle d.>oite par rapport à a, lion de deux droites connues

passera par A qui se trouvera

Page a63, ligne 8, e/i remontant, au lieu de ra|iport an harmonique (nier ). lisez rapport un harmonique {abce').

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b, Google

GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE.

LIVRE V.

LE PLAN.

g L - PREMIÈRES NOTIONS SUR LE PLAN.

DÉFiNITlONS.

487. Un plan est une surfcice telle qu'une ligne droite y esi contenue loul entière dèsqu'elle y a deux points (5). Cette surface est illimitée; toutefois, pour la représenter, on est obligé de lui assigner des limites; on représente un plan par une figure tracée dans ce plan, le plus souvent par un parallé- logratnme.

488. Il résulte de la déflnition du plan qu'une droite et un plan ne peuvent offrir que trois positions relatives :

La droite a deux points communs avec le plan, et alors elle y est contenue tout entière.

2" La droite n'a qu'un point commun avec le plan; on dit alors que la droite el le plan se coupent.

3" La droite n'a aucun point commun avec le plan; on dit alors que la droite et le plan sont parallèles.

Fig. 173.

Quand une droite CC et un plsn P se coupent [Jlg. 275),

B. et DE C. Tr. de Géom. (Il* Partie), I

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2 GËOHËTBIE IIAKS L'ESP.VCE.

leur poinl conimun D divise la droite CC en deux porlies DG et DC situées de part et d'autre du plan; cela résulte de ce que la droite elle plan sont indéfinis.

THÉORÈME.

489. Deux plans P et Q, qui ont un point commun A, ont une droite commune passant parce point.

Deux plans P et Q, qui ont en commun une droite AB et an point C extérieur à celte droite, coïncident dans toute IfAir étendue.

En effel:

i" Par le point A commun aux deux plans P et Q [fig. 276), menons dans le plan Q deux droites quelconques LAL', NAN'. Si l'une de ces droites a, avec le plan P, un point commun autre que A, elle appartient tout entière à ce plan; elle esl donc commune aux deux plans P et Q, et le théorème est dé- montré.

Fij, Ï76. FiG- ï:?.

Supposons donc que les droites LAL', NAN' coupent l'une et l'autre le plan P, et prenons un point quelconque E sur la partie de la droite LAL' qui est au-dessus du plan P, et un point quelconque F sur la partie de la droite NAN', qui est au-dessous du plan P. La droite EF, passant d'un côté à l'aulre du plan P, coupe ce plan en un point I; par suite, la droite Ai est commune aux deux plans P et Q, puisqu'elle a deux points A et I dans chacun d'eux.

2" Par le point G et par deux points E et F, pris à volonté sur AU [fig, 2'î7), menons les droites indéfinies CE et CF; ces deux droites appartiendront, comme la droite AB, aux deux plans P et Q, puisque chacune d'elles a deux points dans

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chacun de ces plans. Cela posé, soit M un point quelconque du plan P; menons par M, dans ce plan, une droite quel- conque MX; celle dmile reneonlrera au moins deux des droites AB, CE, CF; les deux points de rencontre I et K ap- partiendront au plan Q; par suite, il en sera de même de la droite MX tout entière et, en particulier, du point M, Ainsi tout point M de l'un des plans appartient à l'autre, ce qui prouve que ces deux plans coïncident. Corollaires.

490. V inter sec lion de deitx pians est une ligne droite. Car, dès que deux plans ont un point commun, ils ont une

droite commune passant par ce point (489, i") ; et ils ne peu- vent avoir aucun point commun extérieur à cette droite, sans coïncider (489, a").

491. Il résulte des propositions précédentes que deux plans distincts ne peuvent offrir que deux positions relatives ;

i" Ils onl en commun une droite unique; on dît alors qu'ils se coupent.

Ils n'ont aucun point commun; on dit alors qu'ils sont parallèles.

THÉORÈME .

492. Un plan est déterminé :

i" Par une droite AB et un point C extérieur à cette ligne; Par trois points A, B, C, non en ligne droite; Par deux droites AB et AC qui se coupent; Pur deux droites parallèles. En effet [Jig. 278) :

Fie. 178.

t

/

~-^

e un plan ADEB par AB, et qu'on le fasse

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4 GÉOMÉTRIE D*NS l'espace.

tourner autour iJe cette droite, comme une porte sur ses gonds, jusqu'àcequ'il contienne le poîntC; on aura alors un plan AFGB passant par la droite AB el par le point C. Il ne saurait d'ail- leurs en exister d'autres, puisque deux plans remplissant ces conditions coïncident (489, 2").

2" On ramène le deuxième cas au premier en remarquant que tout pian passant par la droite AB et le point C contient les trois points A, B, C, et réciproquement.

3" On ramène le troisième cas au premier en remarquant que tout plan passant par AB et par un point quelconque de AC contient les deux droites AB, AC, el réciproquement.

Deux parallèles sont toujours, pardélînition (56), situées dans un même plan; el ce plan est le seul qui les contienne, puisqu'on ne peui mener qu'un plan parla première parallèle el par un point de la seconde.

CoBOLLATEÉS.

493. Par un point A, onne peut mener dans l'espace qu'une parallèle ù une droite donnée DE. Car [fig. 378), si AB est une parallèle à DE menée par A, AB sera située dans le plan ADE [492, 4"), et l'on sait que, dans un plan, on ne peut mener par un point qu'une parallèle à une droite [59).

494. Nous avons indiqué les positions relatives d'une droite et d'un plan, ainsi que celles de deux plans. 11 nous reste, pour terminer ces préliminaires, à étudier les positions rela- tives de deux droites.

Deux droites AB et CD élant données d'une manière quel- conque dans l'espace, le plan P, mené par AB et par un point quelconque D de CD, peut couper cette droite CD ou la con- tenir tout entière.

Dans le premier cas [Jig. 275), il n'existe aucun plan qui contienne à la fois les deux droites AB cl CD; car un lel plan ayant la droite AB et le point D communs avec le plan P coïnciderait avec lui, et, par suite, le plan P contiendrait la droite CD contrairemenl à l'hypothèse. Les deux droites AB el CD, n'étant pas situées dans un même plan, ne peuvent ni se couper ni être parallèles (492, 3" et 4")'

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Deux droites distinctes peuvent donc offrir, dans l'espace, trois positions relatives ;

Elles ne sont pas situées dans un môme plan.

a" Elles sont parallèles.

Elles se coupent.

Comme, clans les deux premiers cas, elles n'ont aucun point commun, on voit que, pour prouver le parallélisme de deux droites de l'espace, il ne suffira plus, comme en Géomé- trie plane, d'établir qu'elles ne se rencontrent pas, si loin qu'on les prolonge; il faudra, en outre, montrer qu'elles sont situées dans un même plan,

195. Voici, à l'appui de ce principe, deux exemples qui conduisenlà deux conclusions importantes :

Deux droites, l'une située dans un plan, l'autre parallèle à ce plan, n'onl évidemment aucun point commun. Cepen- dant, pour qu'elles soient parallèles, il faut encore, et ilsuffit qu'elles soient situées dans un même plan. On énonce ordi- nairement celte proposition en disant : Si, par une droite AC parallèle à un plan P, on mène un plan ACBD qui coupe le planV, l'intersection BD des deux plans est parallèle à AG ifs- ^79)-

.H^J

2" Deux droites situées respectivement dans deux plans parallèles P et Q n'onl évidemment aucun point commun. Cependant, pour qu'elles soient parallèles, il faut encore, et il jwjÇ^ï, qu'elles soient dans un même plan. On énonce ordinai- rement cette proposition en disant: Quand deux plans pa- rallèles V et Q sont coupés par un troisième ACBD, les inter- sections W. el BD sont parallèles [fig- 27()].

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6 GÉOMÉTRIE DANS l'uSPACE.

g II, - DROITES ET PLANS PARALLÈLES. THÉORÈME. 496. .Si dnux droites AB et CD sonl parallèles, tout plan P qui coupe l'une AB coupe l'autre CD [/ig. 280).

iÈi/

En effet, puisque la droite AB coupe le plan P, le plan ABCD des deux parallèles et le plan P se renconlreni suivant une droite BXqui, coupant AB, coupe sa parallèle CD (60). Par suite, CD a un point commun avec le plan P, el elle ne saurait en avoir d'autre, sans quoi elle coïnciderait avec BX ei ne serait pas parallèle à AB. Corollaires.

497, Si deux droites sont parallèles, tout plan gui contient la première, ou qui lui est parallèle, contient la seconde ou lui est parallèle; car, s'il n'en était pas ainsi, il couperait celte seconde droite (i88), ei, par suite, il couperait la première.

498. Si deux droites A ei B sont parallèles, toute droite C parallèle à la première K est parallèle à la seconde D ou coïn- cide avec elle.

D'abord, si C ne coïncide pas avec B, ces deux droites n'oni aucun point commun, sans quoi, par ce point, on pourrait mener deux parallèles à A. Pour prouver que les